لکیری الجبرا/باب 4

اُوپر، ابواب: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8

سمتیہ فضاء اور سمتیہ ذیلی فضاء

اردو اصطلاح	English term
سمتیہ فضا لکیری فضا	Vector Space Linear Space

ایسے عناصر کا مجموعہ جہاں جمع/تفریق کے عمل ممکن ہوں، اور عناصر کو چھوٹا بڑا کیا جا سکتا ہو، "سمتیہ فضا" کہلاتا ہے۔ اب ہم مکمل تعریف دیتے ہیں۔ اگر کسی مجموعہ V کے عناصر X، Y، Z، وغیرہ مندرجہ ذیل قواعد پر پورے اتریں، تو ایسے مجموعہ کو سمتیہ فضاء کہیں گے، اور عناصر کو سمتیہ:

قواعد

• جمع

1. X+Y   مجموعہ V کا عنصر ہو
2. X+Y = Y+X   (مبدلی)
3. (X+Y) + Z = X + (Y+Z)   (مشارکی)
4. X+0=X   ( صفر شناخت عنصر (0) کی موجودگی)
5. X+(-X)=0   (جمعیاتی اُلٹ، تفریق ممکن)

اعداد a، b، وغیرہ کے لیے

• اعداد سے ضرب

1. aX   مجموعہ V کا عنصر ہو
2. ‭(ab)X=a(bX)‬   (مشارکی)‬
3. ‭(a+b)X=aX+bX ‬   (توزیعی )‬
4. ‭a(X+Y)=aX+aY‬   (توزیعی)
5. ‭1 X=X‬   ضربی شناخت عنصر (1) کی موجودگی

مثال $\mathbb {R} ^{2}$

ایک مستوی میں کسی بھی نقطہ کو دو پیمائشوں کے ذریعہ ڈھونڈا جا سکتا ہے، ایک مبداء (origin) مقرر کر کے، افقی پیمائیش کو عموماً x لکھا جاتا ہے اور عمودی پیمائیش کو y ۔ اس طرح اس نقطہ کو عموماً ‭(x, y)‬ لکھا جاتا ہے۔ ان دو اعداد (جو میدان $\mathbb {R}$ میں ہیں) کو ایک $\ 2\times 1$ مصفوفہ کے بطور یوں $\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]$ لکھا جا سکتا ہے ۔ یعنی مستوی کے کسی بھی نقطہ کو بطور سمتیہ یوں $\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]$ لکھا جا سکتا ہے۔ اب چونکہ یہ سمتیہ ایک مصفوفہ ہیں، اس لیے مصفوفہ حساب کے قائدے استعمال کرتے ہوئے سمتیہ فضا کی تمام لوازمات پوری ہوتی ہیں۔ اس لیے $\mathbb {R} ^{2}$ کے نکتے ایک سمتیہ فضاء بناتے ہیں۔ سمتیہ $U=\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]$ کو قطبی صورت میں مطلق قدر $r={(U^{t}U)}^{1/2}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ اور زاویہ $\theta =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}$ سے دیا جاتا ہے، اور سمتیہ کو تصویری صورت میں مبداء $(0,0)$ سے نقطہ $(x,y)$ تک ایک تیر کے نشان سے دکھایا جاتا ہے، جس کی لمبائی r اور دائیں افقی محور (x-axis) سے زاویہ $\theta$ ہوتا ہے۔ غور کرو کہ قطبی صورت میں بھی نقطہ کو دو اعداد سے لکھا جاتا ہے (مطلق قدر اور زاویہ) مگر ان دو مقداروں کو بطور مصفوفہ نہیں لکھا جا سکتا (یعنی مصفوفہ حساب کے قاعدے لاگو نہیں کیے جا سکتے)۔

شکل 2 میں نقطہ ‭(x=a, y=b)‬ کو سمتیہ U سے دکھایا ہے، جہاں مبداء ‭(x=0, y=0)‬ پر ہے۔ اسی طرح شکل 2 کے نقاط کو سمتیہ کے روپ میں (بطور مصفوفہ) یوں لکھتے ہیں: $U=\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}}\right]\,,\,V=\left[{\begin{matrix}c\\d\end{matrix}}\right]\,,\,W=\left[{\begin{matrix}e\\f\end{matrix}}\right]$

شکل 2	شکل 3

اب سمتیہ U سے سمتیہ V کی طرف ہٹاؤ سمتیہ R سے دکھایا گیا ہے۔ اسے مصفوفہ ریاضی کے قواعد کے مطابق یوں لکھا جا سکتا ہے $R=V-U=\left[{\begin{matrix}c\\d\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}c-a\\d-b\end{matrix}}\right]$ غور کرو کہ سمتیہ R کی سمت نقطہ ‭(x=a, y=b)‬ سے نقطہ ‭(x=c, y=d)‬ سیدھی لکیر کی طرف ہے، اور سمتیہ کی لمبائی (مطلق قدر) ان نکات کے درمیان سیدھی لکیر میں فاصلہ ہے۔ اس لیے اس سمتیہ کو ان نکات کے درمیان ہٹاؤ کہا جاتا ہے۔ یہ بھی دیکھو کہ سمتیہ R چونکہ دو نکتوں کے درمیاں ہے، اس لیے اگر مبداء کو کسی اور نقطہ پر لے جایا جائے، تو اس کا اس سمتیہ R پر کوئی اثر نہیں پڑے گا۔ اس لیے اکثر کہا جاتا ہے کہ سمتیہ ایسی شئے ہے جو کہ ایک مطلق قدر (magnitude) اور فضا میں ایک رُخ (direction) سے تعریف ہو جاتا ہے۔ اسی طرح نقطہ ‭(x=c, y=d)‬ سے نقطہ ‭(x=e, y=f)‬ کے درمیان ہٹاؤ سمتیہ G ہے، جو سمتیہ V کو سمتیہ W میں سے تفریق کر کے حاصل ہوتا ہے۔ $G=W-V=\left[{\begin{matrix}e\\f\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}c\\d\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}e-c\\f-d\end{matrix}}\right]$ فرض کرو کہ ہم نقطہ ‭(x=a, y=b)‬ سے نقطہ (x=c, y=d) ہٹتے ہیں (سمتیہ R )، اور پھر نقطہ (x=e, y=f) کی طرف ہٹ جاتے ہیں (سمتیہ G )۔ اب ہمارا کُل ہٹاؤ سمتیہ B ہے جو کہ سمتیہ R اور سمیتہ G کی جمع ہے۔ $B=R+G=\left[{\begin{matrix}c-a\\d-b\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}e-c\\f-d\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}e-a\\f-b\end{matrix}}\right]=W-U$ غور کرو کہ سمتیہ B صرف اپنے شروع اور آخر کے نقاط سے نکل آتا ہے ("سفر کی ابتدا" اور "آخری منزل" سے، اور درمیانی منازل سے آزاد ہے)۔

اب چونکہ سمتیہ اپنی مطلق قدر اور رُخ سے تعریف ہو جاتا ہے، اس لیے کسی سمتیہ کو اس کے متوازی گھسیٹا جا سکتا ہے۔ شکل 3 میں ہم نے سمتیہ R، B ، W ، کو گھسیٹ کر ان کی دُم کو مبداء پر رکھ دیا ہے۔

سمتیہ تفریق: ہندسہ

اب ہندسہ کے نقطۂ نظر سے سمتیہ تفریق پر نظر ڈالتے ہیں۔ سمتیہ B میں سے R کو تفریق کر کے سمتیہ G ملتا ہے، G=B-R ۔ اس کا طریقہ یوں ہؤا کہ B اور R کی دُمیں ملا دو، اور R کے سر سے B کے سر تک سمتیہ فرق G ہے۔

سمتیہ جمع: ہندسہ

اسی طرح ہندسہ کے نقطہ نگاہ سے سمتیہ جمع پر نظر ڈالتے ہیں۔ سمتیہ R اور G کو جمع کر کے سمتیہ B ملتا ہے، B=R+G ۔ اس کا طریقہ یوں ہؤا کہ سمتیہ G کی دُم سمتیہ R کے سر کے ساتھ جوڑو، اور پھر R کی دُم سے G کے سر تک سمتیہ جمع B ہے۔

مثال $\mathbb {R} ^{n}$

بعینہ $\mathbb {R} ^{n}$ فضا میں نقطوں کو بطور $\ n\times 1$ مصفوفہ لکھا جا سکتا ہے، اور یہ نکتے ایک سمتیہ فضاء بناتے ہیں۔ (یاد رہے کہ بعض اوقات نقاط کو بجائے $\ n\times 1$ مصفوفہ کے ایک $\ 1\times n$ مصفوفہ کے بطور بھی لکھا جاتا ہے۔) ایک سمتیہ کو یوں لکھا جائے گا: $X=\left[{\begin{matrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n-1}\end{matrix}}\right]\,\,,\,x_{k}\in \mathbb {R}$

مثال کے طور پر تین رُخی مستطیل فضا میں کسی جسم کا مقام تین پیمائیشوں z، y ،x، سے دیا جا سکتا ہے، اور اس طرح اس جسم کی سمتار بھی تین اعداد سے دی جا سکتی ہے۔ اس طرح وقت k پر جسم کے مقام اور سمتار پر مبنی 6 رُخی سمتیہ یوں لکھا جا سکتا ہے: $X_{k}=\left[{\begin{matrix}x\\y\\z\\v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{matrix}}\right]$

عبری سمتیہ

ایسے سمتیہ کا مجموعہ، جن کے لکیری تولیف سے فضا کا کوئی بھی سمتیہ بن جاتا ہو، اس فضاء کے لیے عبری سمتیہ (spanning vectors) کا مجموعہ کہلاتا ہے (لفظ عبری کا ماخذ عبور ہے)۔

شکل 4

شکل 4 میں $\mathbb {R} ^{2}$ کا مستوی دکھایا گیا ہے۔ سرخ محور پر واقعہ سمتیہ $e_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]$ اور $e_{1}=\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]$ (شکل 4 میں سرخ نقاط) $\mathbb {R} ^{2}$ کے قدرتی بنیاد سمتیہ کہلاتے ہیں، کیونکہ $\mathbb {R} ^{2}$ فضاء کا کوئی بھی نقطہ ان دو سمتیوں کے لکیری تولیف کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ مثلاً نقطہ‭(x,y)‬ یوں لکھ سکتے ہیں: $\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]=xe_{0}+ye_{1}$

غور کرو کہ سرخ محور کے بجائے ہم سبز محور بھی استعمال کر سکتے ہیں۔ اس کے لیے شکل 4 میں سبز نقطوں سے دو سمتیہ دکھائے گئے ہیں، جو (سرخ محور کے حوالے سے) یوں ہیں: $v_{0}=\left[{\begin{matrix}1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\end{matrix}}\right]$ اور $v_{1}=\left[{\begin{matrix}-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}\end{matrix}}\right]$ اب نقطہ ‭(x,y)‬ کو ان سبز سمتیہ کے لکیری تولیف کے طور پر یوں لکھا جا سکتا ہے: $\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]=av_{0}+bv_{1}=a\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right]+b\left[{\begin{matrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right]$ یعنی سرخ محور کے نقطہ ‭(x,y) ‬ کو سبز محور میں نقطہ ‭(a,b)‬ کہا جائے گا۔ دوسرے الفاظ میں جو نقطہ عبری سمتیہ ‭e0, e1 ‬ کے حوالے سے ‭(x=0.8, y=1.4)‬ تھا، وہی نقطہ عبری سمتیہ ‭v0, v1 ‬ کے حوالے سے ‭(a=1.56, b=0.42)‬ کہلائے گا۔

اب ‭e0, e1, v0, v1‬ بھی ایک عبری سمتیہ کا مجموعہ ہے۔ اس مجموعہ کی مدد سے ہم اسی ‭(x=0.8, y=1.4) ‬ نقطہ کو لکھ کر دیکھتے ہیں: $\left[{\begin{matrix}0.8\\1.4\end{matrix}}\right]=c_{0}e_{0}+c_{1}e_{1}+c_{2}v_{0}+c_{3}v_{1}=c_{0}\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right]+c_{1}\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]+c_{2}\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right]+c_{3}\left[{\begin{matrix}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right]$
یا
$\left[{\begin{matrix}1&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&1&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}c_{0}\\c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0.8\\1.4\end{matrix}}\right]$ غور کرو کہ اس مصفوفہ کے ستون عبری سمتیہ ہیں، اور ہمیں یہ یکلخت لکیری مساوات کا نظام ${\begin{matrix}c_{0}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}c_{2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}c_{3}&=&0.8\\c_{1}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}c_{2}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}c_{3}&=&1.4\end{matrix}}$ حل کر کے ‭c0, c1, c2, c3‬ نکالنا ہیں۔ اب چونکہ مساوات صرف دو ہیں جبکہ متغیر چار، اس لیے ہم کسی بھی دو متغیر کو اپنی مرضی کی قدر دے کر باقی دو متغیر کی قیمتیں مساوات سے نکال سکتے ہیں۔ دوسرے الفاظ میں مساوات کے لامتناہی حل ہیں، جن میں سے چند یہ ہیں:

‭

Possible representations of (x,y) w.r.t. spanning vectors e0, e1, v0, v1

c0	c1	c2	c3
0.5	0.5	0.85	0.42
0.1	0.7	1.0	0
2	‎-3	2.26	3.96

‬

اس سے پتہ چلا کہ عبری سمتیہ‭e0, e1, v0, v1‬ کے حوالہ سے نقاط کا ایک واحد روپ نہیں۔ شکل 4 سے ظاہر ہے کہ $\mathbb {R} ^{2}$ میں کوئی بھی دو سمتیہ جو آپس میں متوازی نہ ہوں، نکات کا واحد روپ نکالنے کے لیے کافی ہیں۔ $\mathbb {R} ^{2}$ میں دو سے زیادہ سمتیہ چننے سے ایک ہی نقطہ کے بہت سے روپ ممکن ہو جاتے ہیں۔ یہ بات ہمیں اگلے موضوع بنیاد سمتیہ کی طرف لے جاتی ہے۔

بنیاد سمتیہ

جیسا کہ اوپر بیان ہؤا کہ ایسے سمتیہ کا مجموعہ $v_{0},v_{1},\cdots ,v_{n-1}$ جن کے لکیری تولیف (linear combination) سے سمتیہ فضاء کا کوئی بھی سمتیہ $v$ یوں لکھا جا سکے:
$v=c_{0}v_{0}+c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n-1}v_{n-1}$
ایسے مجموعہ کو عبری سمتیہ کہتے ہیں، اور ${\begin{matrix}c_{0},c_{1},\cdots ,c_{n-1}\end{matrix}}$ کو ان عبری سمتیے کے حوالے سے سمتیہ $v$ کی صورت (representation) کہتے ہیں۔ ہم نے دیکھا کہ ایسا ممکن ہو سکتا ہے کہ کسی عبری سمتیہ مجموعہ کے حوالہ سے ایک ہی سمتیہ کی ایک سے زیادہ صورتیں ممکن ہوں۔

بنیاد سمتیہ (تعریف)

عبری سمتیہ کا ایسا مجموعہ جس کے حوالہ سے فضاء کے کسی بھی سمتیہ کی صرف ایک واحد صورت ممکن ہو، ایسے مجموعہ کو سمتیہ فضاء کا بنیاد سمتیہ مجموعہ (basis vectors) کہتے ہیں۔

مسلئہ اثباتی (بنیاد سمتیہ کی لکیری آزادی)

بنیاد سمتیہ مجموعہ کے تمام سمتیہ آپس میں باہمی لکیری آزاد ہوتے ہیں۔ یعنی بنیاد سمتیہ مجموعہ میں سے کسی سمتیہ کو باقی ماندہ بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ دوسرے الفاظ میں اگر $v_{0},v_{1},\cdots ,v_{n-1}$ بنیاد سمتیہ کا مجموعہ ہے، تو درج زیل مساوات کا کوئی حل ممکن نہیں
$c_{0}v_{0}+c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n-1}v_{n-1}=0$
یعنی ایسے کوئی ${\begin{matrix}c_{0},c_{1},\cdots ,c_{n-1}\end{matrix}}$ نہیں جو کہ اس مساوات کی تسکین کر سکیں۔

$\mathbb {R} ^{n}$ میں قدرتی بنیاد سمتیہ

$\mathbb {R} ^{n}$ میں نیچے دیے قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ کے مجموعہ کو $\mathbb {R} ^{n}$ کا قدرتی بنیاد سمتیہ (مجموعہ) کہا جاتا ہے۔ ${\begin{matrix}e_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\\\vdots \\0\end{matrix}}\right],e_{1}=\left[{\begin{matrix}0\\1\\\vdots \\0\end{matrix}}\right],\cdots ,e_{n-1}=\left[{\begin{matrix}0\\0\\\vdots \\1\end{matrix}}\right]\end{matrix}}$

مثال

شکل 4 میں $\mathbb {R} ^{2}$ کے لیے یہ جوڑے بنیاد سمتیہ کا کردار ادا کر سکتے ہیں:

1. e0, e1
2. e0, v0
3. e0, v1
4. e1, v0
5. e1, v1

یعنی کوئی بھی دو ایسے سمتیہ جو آپس میں متوازی نہ ہوں، بنیاد سمتیہ کا کردار ادا کر سکتے ہیں۔

بنیاد سمتیہ کے حوالے سے (منفرد) صورت

فرض کرو کہ سمتیہ فضا V کے بنیاد سمتیہ کا ایک مجموعہ $v_{0},v_{1},...,v_{n-1}$ ہے (ان بنیاد سمتیہ کی تعداد n ہے)۔ اب V کے کسی بھی سمتیہ v کو ان بنیاد سمتیہ کے لکیری تولیف کے طور پر یوں لکھا جا سکتا ہے:
$v=c_{0}v_{0}+c_{1}v_{1}+...+c_{n-1}v_{n-1}$
گویا اس بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے سمتیہ v کی صورت کو $\mathbb {R} ^{n}$ کے ایک رکن کے بطور یوں لکھا جا سکتا ہے: $c=\left[{\begin{matrix}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{n-1}\end{matrix}}\right]$

$\mathbb {R} ^{n}$ کے بنیاد سمتیہ کے حوالے سے صورت نکالنے کا طریقہ

$\mathbb {R} ^{n}$ میں دیے گئے بنیاد سمتیہ کے مجموعہ کے حوالے سے کسی سمتیہ $X=\left[{\begin{matrix}x_{0}\\x_{1}\\\vdots \\x_{n-1}\end{matrix}}\right]$ کی صورت نکالنے کا طریقہ یہ ہے۔ بنیاد سمتیہ کے مجموعہ $v_{0},v_{1},\cdots ,v_{n-1}$ کو مصفوفہ صورت میں لکھو، یعنی ایسی مصفوفہ جس کا ہر ستون ایک بنیاد سمتیہ ہو: $V=\left[{\begin{matrix}v_{0}\,v_{1}\cdots v_{n-1}\end{matrix}}\right]$
جسے زیادہ تفصیل میں یوں لکھا جا سکتا ہے (ہر ستون ایک سمتیہ ہے) $V=\left[{\begin{matrix}v_{0,0}&v_{1,0}&\cdots &v_{n-1,0}\\v_{0,1}&v_{1,1}&\cdots &v_{n-1,1}\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\v_{0,n-1}&v_{1,n-1}&\cdots &v_{n-1,n-1}\end{matrix}}\right]$
اب درج ذیل یکلخت لکیری مساوات کا نظام کا حل نکالو
$V\left[{\begin{matrix}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{n-1}\end{matrix}}\right]=X$
یہ حل ${\begin{matrix}c_{0},c_{1},\cdots ,c_{n-1}\end{matrix}}$ ان بنیاد سمتیہ کے حوالے سے سمتیہ X کی صورت (representation) ہو گا۔

قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ

ایسے بنیاد سمتیہ کا مجموعہ $v_{0},v_{1},\cdots ,v_{n-1}$ جس میں شامل تمام سمتیہ آپس میں قائم الزاویہ ہوں، ایسے مجموعہ کو قائم الزاویہ (orthogonal) بنیاد سمتیہ کا مجموعہ کہا جاتا ہے۔ یعنی

$v_{i}^{t}v_{j}=0\,,\,i\neq j$

$v_{i}^{t}v_{i}=1$

دوسرے الفاظ میں قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ کی مصفوفہ $V=[v_{0}\,v1\cdots v_{n-1}]$ کے لیے ضروری ہے کہ $V^{t}V=I$ جہاں I شناخت مصفوفہ ہے۔

شکل 4 میں یہ جوڑے (جو کہ آپس میں نوے درجہ کے زاویہ پر ہیں) قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ کا جوڑا بناتے ہیں:

1. e0, e1
2. v0, v1

یعنی $\mathbb {R} ^{2}$ میں قدرتی بنیاد سمتیہ e0, e1 کی مصفوفہ $\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right]$ قائم الزاویہ (مصفوفہ) ہے۔ اسی طرح $\mathbb {R} ^{2}$ میں بنیاد سمتیہ v0, v1 کی مصفوفہ $V=\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{matrix}}\right]$ قائم الزاویہ مصفوفہ ہے۔ یعنی $V^{t}V=I$ جہاں I شناخت مصفوفہ ہے۔

اوپر ہم نے "بنیاد سمتیہ کے حوالے سے صورت نکالنے کا طریقہ" دیکھا۔ قائم الزاویہ بنیاد سمتیہ کی صورت میں $c_{0}$ کی مساوات یوں بنتی ہے: $c_{0}=X^{t}v_{0}=x_{0}v_{0,0}+x_{1}v_{0,1}+...+x_{n-1}v_{0,n-1}$
دوسرے الفاظ میں نقطہ (سمتیہ) X کی سمتیہ $v_{0}$ پر مسقط (projection) $c_{0}$ ہے۔

تبدیلی از بنیاد سمتیہ

اگر ایک سمتیہ فضا کا ایک "بنیاد سمتیہ" مجموعہ$\ \{v_{0},v_{1},...,v_{n-1}\}$ ہو۔ اور اس فضا میں کسی سمتیہ b کی بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{v_{0},v_{1},...,v_{n-1}\}$ کے حوالے سے بنیاد سمتیہ کے حوالے سے (منفرد) صورت c ہے۔ اب فرض کرو کہ اسی سمتیہ فضا کا ایک اور (نیا) بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{0},u_{1},...,u_{n-1}\}$ ہے اور اس (نئے) بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{0},u_{1},...,u_{n-1}\}$ کے حوالے سے اسی سمتیہ b کی صورت d ہے۔ ان دونوں صورتوں کی نسبت ایک مصفوفہ کے ذریعہ ہو گی:
$\ c=Pd$
مصفوفہ P کو نکالنے کا طریقہ یہ ہے کہ نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{0},u_{1},...,u_{n-1}\}$ کے ہر سمتیہ کی صورت پرانے بنیاد سمتیہ $\ \{v_{0},v_{1},...,v_{n-1}\}$ کے حوالے سے نکالو۔ ان صورتوں کے عددی سر اس مصفوفہ P کے ستون ہونگے۔

مصفوفہ P کو u سے v جانے والی منتقلہ مصفوفہ (transition) کہتے ہیں۔

مثال

$\mathbb {R} ^{2}$ میں نقطہ (4,2) قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ $e_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right],\,e_{1}=\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]$ کے حوالے سے صورت بھی یہی ہے، یعنی: $4e_{0}+2e_{1}$

اب فرض کرو کہ نیا بنیاد سمتیہ مجموعہ یہ ہے: $u_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\right],\,u_{1}=\left[{\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}}\right]$
ان نئے سمتیوں کو پرانے کے حوالے سے لکھنے سے ان کی پرانوں کے حوالے صورت نکل آئے گی $u_{0}=1e_{0}+1e_{1},\,\,u_{0}=-4e_{0}+4e_{1}$
جس کے عددی سر پڑھ کر ہم مصفوفہ P کے ستون لکھ لیتے ہیں: $P=\left[{\begin{matrix}1&-4\\1&4\end{matrix}}\right]$
اب نقطہ (4,2) کی نئے بنیاد سمتیہ مجموعہ کے حوالے سے صورت یوں نکالتے ہیں (دیکھو مصفوفہ کا الٹ استعمال ہؤا ہے) $d=P^{-1}c=\left[{\begin{matrix}1&-4\\1&4\end{matrix}}\right]^{-1}\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1/2&1/2\\-1/8&1/8\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}3\\-1/4\end{matrix}}\right]$
یعنی $3u_{0}-(1/4)u_{1}$

مسلئہ اثباتی

اگر کسی سمتیہ فضا میں بنیاد سمتیہ مجموعہ u سے بنیاد سمتیہ مجموعہ v جانے والی منتقلہ مصفوفہ P ہو، تو

• میٹرکس کا اُلٹ، یعنی $P^{-1}$ ممکن ہے
• v سے u جانے والی منتقلہ مصفوفہ $P^{-1}$ ہے۔

Linear space / Vector space

سمتیہ ذیلی فضا

تعریف: ذیلی مجموعہ (subset): ایک مجموعہ (set) کا ذیلی مجموعہ میں اصل مجموعہ مٰٰیں موجود عنصر میں سے کچھ عناصر ہونگے۔

سمتیہ فضا کے مجموعہ کا ایسا ذیلی مجموعہ جو خود بھی ایک سمتیہ فضا ہو، کو سمتیہ ذیلی فضا کہتے ہیں۔ انگریزی میں اسے vector subspace کہتے ہیں۔ کوئی بھی ذیلی مجموعہ اوپر دیے سمتیہ فضا کے قواعد 2 سے 5 پورے کرے گا۔ یہ جاننے کے لیے ذیلی مجموعہ ایک سمتیہ فضا ہے یا نہٰیں، ہمیں صرف اسے قواعد 1 کے لیے پرکھنا ہوتا ہے۔

مثال: اگر $\ m\leq n$ ، تو سمتیہ فضا $\mathbb {R} ^{n}$ کی سمتیہ ذیلی فضا $\mathbb {R} ^{m}$ ہو گی۔
مثال: تصویر میں معکب فضا $\mathbb {R} ^{3}$ کی ایک سمتیہ ذیلی فضا نیلے مستوی سے دکھایا گئی ہے۔ $\mathbb {R} ^{3}$ میں سمتیہ تین اعداد (معکب کی تین سمتوں X، Y، Z، کی اطراف پیمائیش، مبداء سے) سے یوں دیا جاتا ہے، $\left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]$ ، جبکہ سمتیہ ذیلی فضا (نیلامستوی) پر سمتیہ یوں ہے $\left[{\begin{matrix}x\\y\\-6x+17y\end{matrix}}\right]$
جو مصفوفہ دالہ کے ذریعہ یوں لکھا جا سکتا ہے $\left[{\begin{matrix}x\\y\\-6x+17y\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\-6&17&0\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right]$ غور کرو کہ اگرچہ نیلا مستوی صرف دو رُخی ہے مگر" قدرتی بنیاد سمتیہ" (e0,e1,e2) کے لحاظ سے پھر بھی اس کا کوئی نقطہ ڈھونڈنے کے لیے تین عدد چاہیے ہیں۔ اگر ہم ان قدرتی بنیاد سمتیہ کو ایسے گھمائیں کر دو بنیاد سمتیہ نیلے مستوی کے متوازی ہو جائیں، تو ان نئے بنیاد سمتیہ کی رو سے نیلے مستوی کا کوئی بھی نقطہ لکھتے ہوئے تیسرا عدد صفر ہو گا۔ اس تناظر میں لکیری استحالہ میں مثال 1 بھی دیکھو، جس کی رو سے نیلے مستوی کے کسی نقطہ کو لکھنے کے لیے دو عدد کافی ہو سکتے ہیں۔ گویا نیلا مستوی $\mathbb {R} ^{3}$ کی سمتیہ ذیلی فضا ہے جس کا بُعد (dimension) 2 ہے۔

Linear subspace / Vector subspace

قطار اور ستون فضاء

• تعریف: ایک مصفوفہ کی قطاروں کو قطار سمتیہ کہا جاتا ہے، یعنی ان کو $\mathbb {R} ^{n}$ سمتیہ فضا میں سمتیہ سمجھا جا سکتا ہے۔

مثال کے طور پر مصفوفہ $A=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}\\a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}\end{matrix}}\right]$ کے دو قطار سمتیہ، فضاء $\mathbb {R} ^{3}$ میں یہ ہیں: $r_{0}=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&a_{0,2}\end{matrix}}\right],$ $r_{1}=\left[{\begin{matrix}a_{1,0}&a_{1,1}&a_{1,2}\end{matrix}}\right],$

• تعریف: ایک مصفوفہ کے ستونوں کو ستون سمتیہ کہا جاتا ہے، یعنی ان کو $\mathbb {R} ^{n}$ سمتیہ فضا میں سمتیہ سمجھا جا سکتا ہے۔

مثال کے طور پر مصفوفہ A کے تین ستون سمتیہ، فضاء $\mathbb {R} ^{2}$ میں یہ ہیں: $c_{0}=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}\\a_{1,0}\end{matrix}}\right],$ $c_{1}=\left[{\begin{matrix}a_{0,1}\\a_{1,1}\end{matrix}}\right],$ $c_{2}=\left[{\begin{matrix}a_{0,2}\\a_{1,2}\end{matrix}}\right],$

قطار فضا

مصفوفہ کے قطار سمتیوں کے لکیری تولیف سے جو سمتیہ فضا بنتی ہے اسے قطار فضا کہتے ہیں۔ یعنی قطار سمتیہ کو عبری سمتیہ کے بطور استعمال کرتے ہوئے $\mathbb {R} ^{n}$ کی جو سمتیہ ذیلی فضا عبور ہوتی ہے، وہ قطار فضا کہلائے گی۔ اوپر کی مثال میں لکیری تولیف
$\beta _{0}r_{0}+\beta _{1}r_{1}\,,\,\beta _{i}\in \mathbb {R}$
سے پیدا ہونے والی $\mathbb {R} ^{3}$ کی ذیلی فضا کو اس مصفوفہ A کی قطار فضا کہیں گے۔

ستون فضا

مصفوفہ کے ستون سمتیوں کے لکیری تولیف سے جو سمتیہ فضا بنتی ہے اسے ستون فضا کہتے ہیں۔ یعنی ستون سمتیہ کو "عبری سمتیہ" کے بطور استعمال کرتے ہوئے $\mathbb {R} ^{n}$ کی جو "سمتیہ ذیلی فضا" عبور ہوتی ہے، وہ ستون فضا کہلائے گی۔ اوپر کی مثال میں لکیری تولیف
$\beta _{0}c_{0}+\beta _{1}c_{1}+\beta _{2}c_{2}\,,\,\beta _{i}\in \mathbb {R}$
سے عبور ہونے والی $\mathbb {R} ^{2}$ کی ذیلی فضا کو اس مصفوفہ A کی ستون فضا کہیں گے۔

بُعد فضا

کسی بھی مصفوفہ کی قطار فضا اور ستون فضا کے بُعد فضا (dimension) برابر ہوتے ہیں۔ اور یہ بُعد مصفوفہ کا رُتبہ کہلاتا ہے۔ غور کرو ک ایک $\ m\times n$ مصفوفہ کا رتبہ $\ \min(m,n)$ کے برابر یا اس سے کم ہو گا۔

مثلئہ اثباتی

ایک مصفوفہ A جس کے ستونوں کی تعداد n ہو، اس مصفوفہ کے رتبہ (rank) اور مصفوفہ کی "عدیمہ فضاء کے بُعد" (nullity) کی جمع n ہو گی۔ یعنی

${\hbox{rank(A)}}+{\hbox{nullity(A)}}=n$

Row and column space

$E=mc^{2}$     یہاں ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھو     ریاضی علامات

اُوپر، ابواب: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8