لکیری الجبرا/باب 7

اُوپر، ابواب: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8

استحالہ

استحالہ ایسی فنکشن کو کہتے ہیں جو ایک سمتیہ فضا کے ارکان کو دوسری سمتیہ فضا میں بھیج دے۔ یعنی ایسی فنکشن جس کا میدانَ عمل (domain) اور حیطہ عمل (range) دونوں سمتیہ فضا ہوں۔ انگریزی میں اسے Transformation کہتے ہیں۔ فرض کرو کہ سمتیہ فضا V استحالہ $\ T(.)$ کا میدانَ عمل ہو، اور سمتیہ فضا W اس استحالہ کا حیطہ۔ اب اگر سمتیہ v سمتیہ فضا V کا رکن ہو تو سمتیہ $\ w=T(v)$ سمتیہ فضا W کا رکن ہو گا۔ اور ہم لکھیں گے $T:V\to W$

مثال۔ ترجمہ

اگر X سمتیہ فضا $\mathbb {R} ^{n}$ کا کوئی بھی سمتیہ ہو، تو یہ استحالہ $T(X)=X+v$ اس سمتیہ کا ترجمہ (translate) کرتی ہے۔ یعنی اگر X کو فضا $\mathbb {R} ^{n}$ میں ایک نقطہ سمجھا جائے، تو یہ استحالہ اسے سمتیہ v کی سمت مٰیں ہٹا دیتی ہے، اور اس ہٹاؤ کی مقدار سمتیہ v کی مطلق قدر کے برابر ہے ۔ سمتیہ v بھی $\mathbb {R} ^{n}$ میں ہے۔ تصویر میں یہ ترجمہ استحالہ $T(X):\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ کے لیے دکھایا گیا ہے۔

لکیری استحالہ

لکیری استحالہ ایسے استحالہ کو کہتے ہیں جو لکیری آزمائیش پر پورا اترے۔ اگر استحالہ $\ T(X)$ درج ذیل آزمائش پوری کرے (یہاں X اور Y ایک سمتیہ فضا کے ارکان (یعنی سمتیہ) ہیں، اور a کوئی بھی عدد میدان $\ \mathbb {R}$ یا $\mathbb {C}$ میں )

• $\ T(aX)=aT(X)$
• $\ T(X+Y)=T(X)+T(Y)$

تو اسے لکیری استحالہ کہتے ہیں۔

مصفوفہ ضرب

مصفوفہ ضرب سے لکیری استحالہ بنتا ہے۔ اگر X سمتیہ فضا $\mathbb {R} ^{n}$ کا رکن ہو، اور A ایک $\ m\times n$ مصفوفہ، تو لکیری استحالہ یوں لکھا جا سکتا ہے:

Y = A X

جہاں Y سمتیہ فضا $\mathbb {R} ^{m}$ میں ہو گا۔

مصفوفہ ضرب صورت

کسی سمتیہ فضا V میں سمتیہ v کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ $v_{0},v_{1},...,v_{n-1}$ کے حوالے سے منفرد صورت کو $\mathbb {R} ^{n}$ میں یوں لکھو: $c=\left[{\begin{matrix}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{n-1}\end{matrix}}\right]$
اب فرض کرو کہ ایک دوسری سمتیہ فضا U ہے، اور $\ T:V\to U$ ایک لکیری استحالہ ہے، اور $\ u=T(v)$
اب سمتیہ فضا U میں سمتیہ u کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ $u_{0},u_{1},...,u_{m-1}$ کے حوالے سے منفرد صورت کو $\mathbb {R} ^{n}$ میں یوں لکھو: $d=\left[{\begin{matrix}d_{0}\\d_{1}\\\vdots \\d_{m-1}\end{matrix}}\right]$
ہم صورت c اور d میں رشتہ جاننا چاہتے ہیں۔
اب چونکہ $\ T(v_{i})$ سمتیہ فضا U میں ہیں، اسلئے انہیں U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے: ${\begin{matrix}T(v_{0})=a_{0,0}u_{0}+a_{1,0}u_{1}+\cdots +a_{m-1,0}u_{m-1}\\T(v_{1})=a_{0,1}u_{0}+a_{1,1}u_{1}+\cdots +a_{m-1,0}u_{m-1}\\\vdots \\T(v_{n-1})=a_{0,m-1}u_{0}+a_{1,m-1}u_{1}+\cdots +a_{m-1,0}u_{m-1}\end{matrix}}$
لکیری استحالہ $\ u=T(v)$
اب v کو سمتیہ فضا V کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھتے ہوئے ${\begin{matrix}\ u=T(c_{0}v_{0}+c_{1}v_{1}+\cdots +c_{n-1}v_{n-1})\end{matrix}}$
اور لکیرے پن کا استعمال کرتے ہوئے ِ
$:{\begin{matrix}u=c_{0}T(v_{0})+c_{1}T(v_{1})+\cdots +c_{n-1}T(v_{n-1})\\u=c_{0}(a_{0,0}u_{0}+a_{1,0}u_{1}+\cdots +a_{m-1,0}u_{m-1})\\+c_{1}(a_{0,1}u_{0}+a_{1,1}u_{1}+\cdots +a_{m-1,0}u_{m-1})\\\vdots \\+c_{n-1}(a_{0,m-1}u_{0}+a_{1,m-1}u_{1}+\cdots +a_{m-1,0}u_{m-1})\end{matrix}}$
چونکہ u کو سمتیہ فضا U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھا تھا ${\begin{matrix}u=d_{0}u_{0}+d_{1}u_{1}+\cdots +d_{m-1}u_{m-1}\end{matrix}}$
اس سے یہ نتیجہ اخذ ہوتا ہے کہ

$\left[{\begin{matrix}d_{0}\\d_{1}\\\vdots \\d_{m-1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{0,0}&a_{0,1}&\cdots &a_{0,n-1}\\a_{1,0}&a_{1,1}&\cdots &a_{1,n-1}\\\vdots \\a_{m-1,0}&a_{m-1,1}&\cdots &a_{m-1,n-1}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{n-1}\end{matrix}}\right]$

اب اس $\ m\times n$ مصفوفہ کو ہم A کہتے ہوئے اوپر کی مساوات جو سمتیہ فضا U کے کسی سمتیہ u کی صورت d اور سمتیہ فضا V کے سمتیہ v کی صورت c کے درمیان رشتہ ایک مصفوفہ ضرب کے طور بتاتی ہے، یوں لکھتے ہیں:

$\ d=Ac$

غور کرو کہ مصفوفہ A دونوں سمتیہ فضا (V اور U) میں انتخاب کردہ بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{v_{i}\}$ اور $\ \{u_{i}\}$ پر منحصر ہے۔ مصفوفہ A کی ہئیت پر غور کرو۔ مصفوفہ A کا ہر ستون حاصل کرنے کے لیے، سمتیہ فضا V کے ایک بنیاد سمتیہ $\ v_{i}$ کو T کے ذریعہ U میں بھیجا جاتا ہے، اور $\ T(v_{i})$ کو سمتیہ فضا U کے بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{i}\}$ کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھنے سے جو عددی سر $a_{.,.}$ حاصل ہوتے ہیں، یہ میٹرکس کا ایک ستون بنتے ہیں۔

مثال 1

ایک لکیری استحالہ $\ T:\mathbb {R} ^{2}\to {subspace}(\mathbb {R} ^{3})$

جو یوں ہے $T\left(\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]\right)=\left[{\begin{matrix}x\\y\\-6x+17y\end{matrix}}\right]$ اور جو سمتیہ فضا $V=\mathbb {R} ^{2}$ سے $\mathbb {R} ^{3}$ کی ذیلی سمتیہ فضا U میں بھیجتا ہے۔ اس ذیلی سمتیہ فضا کو تصویر میں نیلے مستوی سے دکھایا گیا ہے۔ $\mathbb {R} ^{2}$ میں بنیاد سمتیہ مجموعہ کے لیے ہم قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ کا انتخاب کر لیتے ہیں، یعنی $v_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\right],v_{1}=\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]$
اور $\mathbb {R} ^{3}$ کی اس ذیلی سمتیہ فضا میں بنیاد سمتیہ مجموعہ $u_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\0\\-6\end{matrix}}\right],u_{1}=\left[{\begin{matrix}1\\1\\11\end{matrix}}\right]$
۔ اب V کے بنیاد سمتیہ کو T کے ذریعہ U میں بھیج کر U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھتے ہیں $T(v_{0})=1u_{0}+0u_{1}$
$T(v_{1})=-1u_{0}+1u_{1}$
جس سے ہم مصفوفہ A پڑھ لیتے ہیں $A=\left[{\begin{matrix}1&-1\\0&1\end{matrix}}\right],$

مثال 2

درجہ اول کے کثیر رقمی کی فضا کو V کہو، اور درجہ دوم کے کثیر رقمی کو فضا U کہتے ہوئے، ایک لکیری استحالہ $T:V\to U$ یہ ہے $T(p_{1}(x))=xp_{1}(x)$
یہاں درجہ اول کے کثیر رقمی کو $p_{1}(x)$ لکھا ہے۔
فضا V میں بنیاد سمتیہ $v_{0}=1,v_{1}=x$
اور فضا U میں بنیاد سمتیہ $u_{0}=1,u_{1}=x,u_{2}=x^{2}$
اب V کے بنیاد سمتیہ پر لکیری استحالہ T کے ذریعہ U میں لے جا کر، ان کو U کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھ کر $T(v_{0})=x=0u_{0}+1u_{1}+0u_{2}$
$T(v_{1})=x^{2}=0u_{0}+0u_{1}+1u_{2}$
میٹرکس A پڑھ لو $A=\left[{\begin{matrix}0&0\\1&0\\0&1\end{matrix}}\right],$

مسلئہ اثباتی

ایک سمتیہ فضا S پر لکیری استحالہ $T:S\to S$ ہو۔ اس سمتیہ فضا میں ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{v_{i}\}$کے لحاظ سے اس استحالہ کی صورت مصفوفہ A ہو۔ اب اگر اسی فضا کا ایک اور بنیاد سمتیہ مجموعہ $\ \{u_{i}\}$ ہو، اور اس مجموعہ کے حوالے سے استحالہ کی صورت مصفوفہ B ہو، تو دونوں مصفوفہ میں نسبت یوں لکھی جا سکتی ہے
$\ B=P^{-1}AP$
جہاں مصفوفہ P مجموعہ $\ \{u_{i}\}$ سے مجموعہ $\ \{v_{i}\}$ لے جانی والی منتقلہ مصفوفہ ہے۔ گویا A اور B مشابہ مصفوفہ ہیں۔

نسبی استحالہ

اردو اصطلاح	English term
نسبی استحالہ	Affine transformation

نَسبی استحالہ ایسے استحالہ کو کہتے ہیں، جو لکیری استحالہ کے بعد ترجمہ استحالہ کے استعمال سے وقوع ہو۔ لکیری فضا $\mathbb {R} ^{n}$ کے سمتیہ X کے لیے اس کی ہئیت یوں ہو گی

$\ T(X)=AX+b$

جہاں A ایک $m\times n$ مصفوفہ ہے، اور b ایک $m\times 1$ مصفوفہ۔ مصفوفہ A سے ضرب لکیری حصہ ہے، اور b جمع سے ترجمہ (translate)۔

مثال

تصویر 1

سمتیہ فضا $\mathbb {R} ^{2}$ میں نسبی استحالہ

$\ T(X)=AX+b$

یہاں سمتیہ X کو مصفوفہ A سے ضرب دینے سے ایک نیا سمتیہ AX بنتا ہے، جس میں سمتیہ b جمع کیا جاتا ہے۔ یعنی اگر X کو فضا $\mathbb {R} ^{2}$ میں ایک نقطہ سمجھا جائے (تصویر 1)، تو مصفوفہ ضرب اس کو گھماتی ہے، اور اس کا مبداء سے فاصلہ تبدیل کرتی ہے۔ جمع b ، اسے سمتیہ b کی سمت مٰیں ہٹا دیتی ہے، اور اس ہٹاؤ کی مقدار سمتیہ b کی مطلق قدر کے برابر ہے ۔ سمتیہ b بھی $\mathbb {R} ^{2}$ میں ہے۔

تصویر 2

اس مثال سے نسبی استحالہ کی افادیت واضح نہیں ہوتی۔ اس لیے تصویر 2 میں دکھایا گیا ہے کہ نیلے مربع کے نمام نکات پر نسبی استحالہ کے استعمال سے سبز کثیرالضلاع حاصل ہوتا ہے۔ نیلے مربع کے نقاط پرمصفوفہ ضرب (لکیری استحالہ) سے سرخ کثیرالاضلاع حاصل ہوتا ہے، جسے ترجمہ کر کے سبز کثیرالاضلاع مل جاتا ہے۔ یہاں یہ ذکر کر دیں کی تصویر 2 میں سرخ کثیرالاضلاع کا کچھ حصہ نیلے مربع کے نیچے چلے جانے کی وجہ سے نظر نہیں آ رہا۔ اس مثال سے واضح ہؤا کہ کس طرح کے مسائل کو ترجمہ کے ذریعہ لکیری میں تبدیل کیا جا سکتا ہے۔

چونکہ کسی بھی لکیری فضا کے سمتیہ کی منفرد صورت $\mathbb {R} ^{n}$ میں ہوتی ہے، اس لیے یہاں کی ساری بحث کسی بھی لکیری فضا پر لاگو آتی ہے۔

نسبی استحالہ

$\ Y=T(X)=AX+b$

کو اُلٹانا (یعنی دیے گئے سمتیہ Y سے سمتیہ X حاصل کرنا) اس صورت ممکن ہے (اصلاً اگر بشرط اگر) جب مصفوفہ A مقلوب مصفوفہ ہو۔

حیطۂ استحالہ

تعریف: ایک استحالہ $T:V\to U$، جو سمتیہ فضا V کے سمتیہ کو سمتیہ فضا U کے سمتیہ میں لے جاتا ہے۔ فضا U کے ان سمتیوں کا مجموعہ جو اس استحالہ T کے ذریعہ حاصل ہو سکیں کو استحالہ T کا حیطہ (range) کہا جاتا ہے۔ یعنی T کے حیطہ کا ہر سمتیہ فضا V کے کم از کم ایک سمتیہ پر استحالہ T کے استعمال سے اخذ کیا جا سکتا ہے۔ T کے حیطہ کو ہم ‭R(T)‬ لکھیں گے۔

حیطہ لکیری استحالہ

اگر استحالہ $\ T:V\to U$، لکیری استحالہ ہو، تو "حیطہ استحالہ" لکیری فضا U کی لکیری ذیلی فضا ہو گا۔ حیطہ (جو ایک لکیری فضا ہے) کے بُعد کو استحالہ کا رتبہ (rank) کہتے ہیں، اور اسے ‭rank(T) ‬ لکھیں گے۔

فرض کرو کہ فضا V کا بُعد n ہے۔ اگر استحالہ کی عدیمہ فضا کے بُعد کو ‭ nullity(T)‬ لکھا جائے تو

$\ {\hbox{rank(T)}}+{\hbox{nullity(T)}}=n$

عدیمۂ استحالہ

تعریف: ایک لکیری استحالہ $\ T:V\to U$، جو سمتیہ فضا V کے سمتیہ کو سمتیہ فضا U کے سمتیہ میں لے جاتا ہے۔ فضا V کے ان سمتیوں کا مجموعہ جو اس استحالہ T کے ذریعہ صفر سمتیہ $\mathbf {0}$ میں جائیں، کو لکیری استحالہ T کی عدیمہ فضا کہا جاتا ہے۔ انگریزی میں اسے T کا kernel یا null space کہتے ہیں۔ یہ عدیمہ فضا، سمتیہ فضا V کی سمتیہ ذیلی فضا ہوتی ہے۔

ایک $\ m\times n$ مصفوفہ $\ A$ کے ساتھ اس متواقت لکیری مساوات کا نظام

$\ AX=0$

کے حل کی سمتیہ فضا کو مصفوفہ A کی عدیمہ فضا کہا جاتا ہے۔ انگریزی میں اسے null space کہتے ہیں۔ عدیمہ کا لفظ عدیم الوجود سے بنا ہے۔ دوسرے الفاظ میں

$\ {\hbox{Null }}A=\{X:AX=\mathbf {0} \}$

مثلئہ اثباتی

ایک مصفوفہ A جس کے ستونوں کی تعداد n ہو، اس مصفوفہ کے رتبہ (rank) اور میٹرکس کی "عدیمہ فضا کے بُعد" (nullity) کی جمع n ہو گی۔ یعنی

$\ {\hbox{rank(A)}}+{\hbox{nullity(A)}}=n$

مثال

مصفوفہ $A=\left[{\begin{matrix}4&2&1&3\\2&1&2&6\\2&1&3&9\\-2&-1&1&3\end{matrix}}\right]$
یہ آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے کہ اس مصفوفہ کی عدیمہ فضا کے لیے درج ذیل ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ ہے $v_{0}=\left[{\begin{matrix}1\\-2\\0\\0\end{matrix}}\right],\,v_{1}=\left[{\begin{matrix}0\\0\\-3\\1\end{matrix}}\right]$
گویا اس مصفوفہ کی عدیمہ فضا کا بُعد 2 ہے۔ اور یہ عدیمہ فضا، $\mathbb {R} ^{4}$ کی سمتیہ ذیلی فضا ہے۔ اس مصفوفہ کا رتبہ بھی 2 ہے۔ اوپر کے مسئلہ اثباتی کی اس سے تصدیق ہوتی ہے کہ "بُعد عدیمہ فضا" اور رتبے کی جمع، مصفوفہ کے ستونوں کی تعداد کے برابر ہے۔

دوسرے الفاظ میں متواقت لکیری مساوات کا نظام $\ AX=\mathbf {0}$ کا حل یہ ہے (بنیاد سمتیہ کا لکیری تولیف):

$\ X=\alpha v_{0}+\beta v_{1}\,;\,\,\,\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$

اُوپر، ابواب: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8